约数个数定理
对于一个数a可以分解质因数：a＝a1的r1次方乘以a2的r2次方乘以a3的r3次方乘以……则a的约数的个数就是（r1＋1）（r2＋1）（r3＋1）……
需要指出来的是，a1，a2，a3……都是a的质因数。r1，r2，r3……是a1，a2，a3……的指数。
例题
有一个面积为378000平方米的长方形，其周长最多可有几种不同的数值？
解：378000=2^4×3^3×5^3×7
共有约数(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160个。
所以周长有160÷2=80个不同的值。
**********************************************
先把整数N分解成标准分解式 :
N=[(p1)^a1]×[(p2)^a2]×[(p3)^a2]×…×[(pn)^an], (n≥1)
如12=(2^2)×(3^1)
则N的正约数的个数T是：
T=(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(an+1)
如12=(2^2)×(3^1)，T=(2+1)(1+1)=6
也就是12有6个约数。
**********************************************
一个自然数恰好有18个约数,那么它最多有多少个约数的个位是3.
答案：9
由约数个数定理，18=（1+1）×（8+1）=（1+1）×（2+1）×（2+1）=（2+1）×（5+1），1×3的尾数是1，所以18=（1+1）×（8+1）的情况最符合题意，18个约数必存在两两对应：一个×另一个=原数，所以如果一个个位是3，另一个必然不是，18/2=9,构造一个3×11^8
**********************************************
我们先来考察一个例子.
72有几个约数？
用“两边夹”的方法可以找出它的全部约数：
1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72
共是12个.
再把72分解质因数：
72=2×2×2×3×3=2^3×3^2.
显然
2^0，2^1，2^2，2^3
和
3^0，3^1，3^2
是72的约数.由这两组约数中的任意两个约数的乘积当然也是72的约数.即
一一写出来就是：
2^0×3^0=1×1=1，
2^0×3^1=1×3=3，
2^0×3^2=1×9=9；
2^1×3^0=2×1=2，
2^1×3^1=2×3=6，
2^1×3^2=2×9=18；
2^2×3^0=4×1=4，
2^2×3^1=4×3=12，
2^2×3^2=4×9=36；
2^3×3^0=8×1=8，
2^3×3^1=8×3=24，
2^3×3^2=8×9=72.
有趣的是，按照这种方式得到的约数，正好得到了72的所有12个约数.不是吗？ 再细心观察两个例子，也许我们聪明的读者就会发现规律了.
合数：1000.
分解质因数：
1000=2×2×2×5×5×5=2^3×5^3.
找约数：
约数的个数是：
（3+1）×（3+1）=16（个）.
合数：49000.
分解质因数：
49000=2×2×2×5×5×5×7×7=2^3×5^3×7^2
找约数：
约数的个数：
（3+1）×（3+1）×（2+1）=48（个）.
有规律吗？
如果合数B分解质因数后是：
B=a^m×b^n×c^p×……
其中a、b、c……均为质数，m、n、p……均为自然数.那么，这个合数的约数个数有多少呢？
【规律】
如果合数B分解质因数后是：
B=a^m×b^n×c^p×……
那么，它的约数个数有（m+1）×（n+1）×（p+1）×……（个）.
【练习】
1.下面是一些合数分解质因数后的情形.请求出这些合数的约数个数.
2^2×3^3，2^4×5^2，
3^3×5^4，2^2×3^3×5^4，
2^10×3^100×5^1000，13^10×17^100×19^1000，
2×3×5×7×11，2^1×3^2×5^3×7^4×11^5.
2.求出下面每个合数的约数个数.
144 128 1600 360 4580
3.（1）分母是1000的最简真分数共有多少个？
（2）分子是1001的最简假分数共有多少个？
4.（1）写出一个不同的合数，但跟22×33有一样多约数个数.
（2）写出一个也只含有质因数2和3的合数，且跟22×32含有的约数个数同样多.
5.面积是480平方厘米，长和宽都是自然数的长方形共有多少个？
需要指出来的是，a1，a2，a3……都是a的质因数。r1，r2，r3……是a1，a2，a3……的指数。
例题
有一个面积为378000平方米的长方形，其周长最多可有几种不同的数值？
解：378000=2^4×3^3×5^3×7
共有约数(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160个。
所以周长有160÷2=80个不同的值。
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先把整数N分解成标准分解式 :
N=[(p1)^a1]×[(p2)^a2]×[(p3)^a2]×…×[(pn)^an], (n≥1)
如12=(2^2)×(3^1)
则N的正约数的个数T是：
T=(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(an+1)
如12=(2^2)×(3^1)，T=(2+1)(1+1)=6
也就是12有6个约数。
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一个自然数恰好有18个约数,那么它最多有多少个约数的个位是3.
答案：9
由约数个数定理，18=（1+1）×（8+1）=（1+1）×（2+1）×（2+1）=（2+1）×（5+1），1×3的尾数是1，所以18=（1+1）×（8+1）的情况最符合题意，18个约数必存在两两对应：一个×另一个=原数，所以如果一个个位是3，另一个必然不是，18/2=9,构造一个3×11^8
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我们先来考察一个例子.
72有几个约数？
用“两边夹”的方法可以找出它的全部约数：
1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72
共是12个.
再把72分解质因数：
72=2×2×2×3×3=2^3×3^2.
显然
2^0，2^1，2^2，2^3
和
3^0，3^1，3^2
是72的约数.由这两组约数中的任意两个约数的乘积当然也是72的约数.即
一一写出来就是：
2^0×3^0=1×1=1，
2^0×3^1=1×3=3，
2^0×3^2=1×9=9；
2^1×3^0=2×1=2，
2^1×3^1=2×3=6，
2^1×3^2=2×9=18；
2^2×3^0=4×1=4，
2^2×3^1=4×3=12，
2^2×3^2=4×9=36；
2^3×3^0=8×1=8，
2^3×3^1=8×3=24，
2^3×3^2=8×9=72.
有趣的是，按照这种方式得到的约数，正好得到了72的所有12个约数.不是吗？ 再细心观察两个例子，也许我们聪明的读者就会发现规律了.
合数：1000.
分解质因数：
1000=2×2×2×5×5×5=2^3×5^3.
找约数：
约数的个数是：
（3+1）×（3+1）=16（个）.
合数：49000.
分解质因数：
49000=2×2×2×5×5×5×7×7=2^3×5^3×7^2
找约数：
约数的个数：
（3+1）×（3+1）×（2+1）=48（个）.
有规律吗？
如果合数B分解质因数后是：
B=a^m×b^n×c^p×……
其中a、b、c……均为质数，m、n、p……均为自然数.那么，这个合数的约数个数有多少呢？
【规律】
如果合数B分解质因数后是：
B=a^m×b^n×c^p×……
那么，它的约数个数有（m+1）×（n+1）×（p+1）×……（个）.
【练习】
1.下面是一些合数分解质因数后的情形.请求出这些合数的约数个数.
2^2×3^3，2^4×5^2，
3^3×5^4，2^2×3^3×5^4，
2^10×3^100×5^1000，13^10×17^100×19^1000，
2×3×5×7×11，2^1×3^2×5^3×7^4×11^5.
2.求出下面每个合数的约数个数.
144 128 1600 360 4580
3.（1）分母是1000的最简真分数共有多少个？
（2）分子是1001的最简假分数共有多少个？
4.（1）写出一个不同的合数，但跟22×33有一样多约数个数.
（2）写出一个也只含有质因数2和3的合数，且跟22×32含有的约数个数同样多.
5.面积是480平方厘米，长和宽都是自然数的长方形共有多少个？
小学数学 2009-03-08 00:10:36 通过 网页 浏览(3521) 打印
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